Tema 4: El moviment

02_CN_Dossier tema 04 Cinematica

1 Què és el moviment?

La cinemàtica és la part de la mecànica clàssica que estudia els moviments, sense tenir en compte les causes que el produeixen.
Podríem dir que la cinemàtica se limita a estudiar la trajectòria d’un mòbil en funció del temps, o, simplement dir que la cinemàtica estudia el moviment del cosos?
Però, què es la trajectòria? Creus que és fàcil saber que alguna cosa es mou?
4.1.1 El moviment és relatiu.
Què penseu que significa el títol?
Bàsicament que el concepte de moviment és poc més complicat del que penses ja que necessitem un sistema de referència a l’hora de saber si un cos està en moviment o en repòs, podem considerar que un cos es mou respecte a un punt de referència, i en canvi pot estar en repòs si prenem un altre punt.
Observem la il·lustració:
Qui es meneja? L’autobús? El conductor? El futur passatger? L’estrela del conductor?
El cert és que tots i ningú!
I ara altre exemple. Queda’t en repòs, sense moure’t…
Ara et pregunto si et mous: Estàs en moviment? Segurament respondràs que no. I és veritat. No et mous respecte del terra que tens als peus, o per algú que t’observe prop teu…. Però també estàs en moviment. Algú que t’observés des de la Lluna et vora donant voltes a gairebé 1600 km/h!… I si algú et pugues observar des d’una galàxia propera et veuria desplaçant-te amb la Terra a una velocitat aproximada de 106.000 km/h.
Guuuaaauuuuuuuuuu!! Et mous, i a molta velocitat!
Així que això de moure’s és relatiu, depen de quin punt agafis de referència, és a dir depèn d’on es situï l’observador.
Hi ha molts més exemple: gent que puja per una escala mecànica, passatgers d’un tren o molts anuncis on la càmera es queda queta i es mou el món al voltant.
A partir d’ara nosaltres, agafarem com a referència per saber si alguna cosa es mou o no, el nostre planeta, excepte si indiquem el contrari. Encara que podríem agafar qualsevol altre objecte que es moguera a velocitat constant.
Situarem a l’observador sobre el sòl i treballarem amb uns eixos de coordenades que ens donaran la posició exacta del cos que es mou. (Com quan juguem al joc d’enfonsar vaixells!)
4.1.2 Posició i trajectòria:
Quan un cos canvia la seva posició diem que està en moviment. El cos que es troba en moviment respecte del sistema de referència s’anomena mòbil.
Nosaltres considerarem el mòbil com un punt, no ens importa la forma ni les dimensions que té per estudiar el seu moviment. La cinemàtica l’anomena mòbil puntual.
Un cos en moviment ocuparà diferents punts de l’espai o posicions x en cada instant de temps t
La trajectòria descriu el camí que fa un cos quan es mou per l’espai, i està formada per la línia que es forma unit les diferents posicions que va ocupant el mòbil al llarg del temps.
L’exemple clàssic és l’estela d’un vaixell o d’un avió en el cel.
Aquests camins poden tenir formes molt diverses, però es poden classificar fàcilment en dos grups:
Trajectòria rectilínia: Aquelles que formen una recta. En aquestes trajectòries el mòbil es dirigeix sempre cap al mateix lloc, no canvia la seva direcció.
Trajectòria circular: Totes aquelles en què el mòbil va canviant la seva direcció a mesura que avança de forma constant.

4.1.3 Distància recorreguda i desplaçament
En Física, distància recorreguda i desplaçament són conceptes diferents. La distància recorreguda és bàsicament la mesura de la trajectòria del moviment, és a dir, quan mesura una estela d’un avió, per exemple.
Per altra banda, els mòbils realitzen un desplaçament quan la seva posició final i inicial són diferents, i es defineix com la mesura de la posició final menys posició inicial en línia recta.
Mireu el dibuix inferior:

.
Matemàticament, podem definir el desplaçament (identificant com x la posició del móbil) com:

El desplaçament es mesura en unitats de longitud, en el SI (Sistema Internacional, en metres). També podem utilitzar la lletra d per referir-nos al desplaçament. El desplaçament pot ser positiu o negatiu.
Però què passa si un mòbil es mou en cercle i torna a la seua posició inicial? Aleshores el desplaçament = zero… no? Però sabem que s’ha mogut! Si, perquè la distància recorreguda no és igual que zero. Per tant, la física necessita dos conceptes: desplaçament i distància recorreguda
Recordem que la distància recorreguda és la longitud de la trajectòria expressada en m. És una magnitud escalar que expressa una longitud, per tant sempre té un valor positiu.
Només quan la trajectòria és una recta, el desplaçament coincideix amb l’espai o distància
4.1.4 El vector velocitat
Per anar d’un punt a un altre triguem un temps. Així podem definir la velocitat com l’espai que hem recorregut en un temps determinat.
Però no solament és important el valor de la velocitat del moviment, sinó també la seva direcció i sentit. Per exemple, si jo vaig a 30 km/h i vull arribar a València, que està a 30 km ¿arribaré en una hora?
Doncs, depèn. Si vaig cap a València si, però si vaig cap a Castelló no. Per això, en Física es diu que el terme velocitat és un vector, i hem de dir tant el seu valor numèric com la direcció i el sentit del moviment.
Però be, encara és massa aviat per estudiar la velocitat d’aquesta manera, començarem realitzant càlculs més senzills.
Matemàticament, la velocitat es calcula dividint l’espai recorregut entre el temps que s’ha necessitat per a recórrer-lo. És una magnitud vectorial i en el SI s’expressa en m/s (metres per segon). La seua expressió més general és la següent:

Però, si comencem de l’origen de coordenades i per a temps inicial 0, es pot simplificar a:

que és una expressió molt fàcil de recordar si pensem en els velocímetres dels cotxes (espai partit temps)
La velocitat d’un mòbil pot ser constant tot el temps, mantenint-se igual tot el recorregut. Diem que porta una velocitat uniforme.
4.1.5 Velocitat mitjana i instantània
Normalment, quan viatgem d’un lloc a un altre no anem contínuament a la mateixa velocitat: frenem, accelerem….
Per aquest motiu podem definir una velocitat mitjana, simplement prenent el desplaçament total realitzat i dividint-lo entre el temps total que hem trigat a cobrir-lo:

Tanmateix, a cada instant de temps el mòbil porta una velocitat concreta: és la velocitat instantània.
Velocitat mitjana: desplaçament efectuat pel mòbil durant cada unitat de temps entre l’instant inicial i final del desplaçament.
Velocitat instantània: és la velocitat mitjana en un interval de temps infinitament curt, que anomenem instant.

4.1.6 L’acceleració
Ara bé, un mòbil porta sempre la mateixa velocitat?
Si fóra així, els cotxes no servirien per a res!
Així doncs, la velocitat dels mòbils pot variar. En diem que porta una velocitat variable. El ritme al qual es produeix aquesta variació és el que anomenem acceleració.
Però l’acceleració, igual que la velocitat, no sempre és constant al llarg del temps, sinó que pot anar canviant a cada instant.
Matemàticament ho podem escriure com:

L’acceleració es mesura en el SI en m/s² i pot ser:
Positiva, si augmentem la velocitat: accelerem.
Negativa, si disminuïm la velocitat: freenem.
Zero, si no hi ha variació de la velocitat: anem a velocitat constant.
També igual que per a la velocitat, existeix una acceleració instantània, que inclou una direcció i un sentit, i una acceleració mitjana.
4.2 Moviment Rectilini Uniforme
Dins la cinemàtica aquest curs estudiarem només els moviments que descriuen una trajectòria recta i que no varien la seva velocitat en tot el desplaçament: el moviment rectilini uniforme (MRU).
Les condicions del moviment rectilini uniforme són:
1. El mòbil descriu una trajectòria recta. Per tant el desplaçament i la distància recorreguda coincideixen.
2. La velocitat no varia, és constant, l’acceleració = 0 . La velocitat és uniforme. La velocitat mitjana i la instantània coincideixen.
Per descriure el moviment necessitarem conèixer la posició inicial, la posició final i el temps que s’ha empleat en desplaçar-se des de la posició inicial a la final.
L’equació del moviment és la fórmula que ens permet saber la posició d’un mòbil en un instant determinat. És l’equació de la posició en funció del temps. Si es donen valors a t s’obtenen valors de x.
i
On x és l’espai recorregut en metres, x0 és l’espai inicial (lloc on es troba el mòbil respecte l’origen del punt de referència) en metres, t és el temps en s, v és la velocitat en m/s i v0 és la velocitat uncial en m/s.
4.2.1 Les gràfiques MRU
El moviment d’un mòbil també podem estudiar-lo a partir de les gràfiques del moviment:posició-temps i velocitat temps.
A l’eix d’ordenades (y) es representa la posició o la velocitat, mentre que en l’eix d’abcises (x) es representa el temps. Observant la pendent de les gràfiques del moviment uniforme podem fer-mos d’una ullada una idea sobre la velocitat que porta el mòbil i cap a on es desplaça.

La gràfica és una recta inclinada i el pendent (inclinació) ens indica la velocitat: com més gran és major és la velocitat.

Si la recta és horitzontal, el mòbil està aturat, i si el pendent és negatiu, el mòbil torna cap a l’origen:

La gràfica és una recta horitzontal, per sobre de l’eix d’abscisses si el mòbil s’allunya de l’origen cap a la dreta i per sota si el mòbil es mou en sentit contrari.

La gràfica és una recta horitzontal amb valor zero: si la velocitat és constant, no hi ha acceleració.
A partir de la gràfica x-t es poden conèixer certes característiques d’un MRU:
L’espai inicial és el punt en què la gràfica talla l’eix d’ordenades (ordenada a l’origen)
La velocitat es pot calcular a partir de dels valors temps i posició de dos punts de la línia (és el pendent de la recta).
Que la recta sigui decreixent o que la velocitat tengui un valor negatiu significa que el mòbil es va acostant a l’origen de referència a mesura que passa el temps.
4.3 Moviment Rectilini Uniformement accelerat
Es aquell moviment rectilini on la velocitat varia de manera constant, o sigui, existeix una acceleració constant i diferent de 0.
És el que passa quan comencem un viatge en cotxe o frenem al veure un semàfor en roig.
Les seves equacions són una mica més complicades, però nosaltres anem a utilitzar una versió simplificada de les mateixes, ja que suposarem que tant l’espai inicial com la velocitat inicial és zero:
i
On x és l’espai recorregut en metres, a és l’acceleració en m/s², t és el temps en s i v és la velocitat en m/s.
4.3.1 Les gràfiques MRUA
Al igual que en el MRUA, el moviment d’un mòbil també podem estudiar-lo a partir de les gràfiques del moviment:posició-temps i velocitat temps.
A l’eix d’ordenades (y) es representa la posició o la velocitat, mentre que en l’eix d’abcises (x) es representa el temps. Observant la pendent de les gràfiques del moviment uniforme podem fer-mos d’una ullada una idea sobre la velocitat que porta el mòbil i cap a on es desplaça.

La gràfica és una corba (una paràbola).
Segons la forma de la paràbola podem saber si el mòbil accelera, frena, es mou cap a la dreta o bé cap a l’esquerra. Al gràfic de l’esquerra el mòbil accelera i es mou cap a la dreta.

La gràfica és una recta inclinada i el pendent de la recta és igual que l’acceleració.
Si el pendent és positiu, el mòbil augmenta la seva velocitat.
Si el pendent és negatiu, el mòbil frena.

La gràfica és una recta horitzontal amb valor diferent de zero:
Si la velocitat augmenta, la recta estarà per sobre de l’eix d’abscisses (acceleració positiva)
Si la velocitat disminueix, la recta estarà per sota de l’eix d’abscisses (acceleració negativa).
4.4 Factors de Conversió
Per resoldre els problemes de física i química és necessari la utilització de les unitats de cada magnitud. En principi, s’han d’utilitzar les unitats del Sistema Internacional (SI), però freqüentment se’n fan servir d’altres. Per exemple, quan es parla de la velocitat d’un cotxe, es fa en km/h i no en m/s.
Per passar d’una unitat a una altra és convenient fer servir factors de conversió, ja que són una eina molt útil ja que:
1. Són fàcils d’utilitzar: si el símbol que volem transformar està al numerador, només hem de posar el factor corresponent de manera que aquell símbol estiguial denominador, i viceversa.
2. Qualsevol cosa es pot fer servir com a factor de conversió: qualsevol equivalència es pot fer servir com a factor de conversió
3. Fem les operacions al final: Això vol dir que podem simplificar moltes operacions abans d’agafar la calculadora. Per tant, si fem menys càlculs reduïm la possibilitat d’equivocar-nos en una operació.
4. Tenim totes les operacions a la vista: Per tant podem repassar millor i comprovar si hi ha alguna equivocació en algun factor o en alguna operació.
Un factor de conversió és un fracció tal que en el denominador es posa la unitat que volem simplificar i en el numerador el valor equivalent en la unitat final o a l’inrevés.
Imagina que es vol passar 3 km a metres. En aquest cas, cal posar 1 km en el denominador i 1.000 m en el numerador:
Per passar 4 hores a segons:
Si es volen passar 7.200 s a hores:

De vegades es necessita més d’un factor de conversió; el resultat és com si els factors de conversió estigueren encadenats. Així, per passar de km/h a m/s se n’han d’encadenar dos, un per passar de quilòmetres (km) a metres (m), i l’altre d’hores (h) a segons (s).
Si es volen passar 65 km/h a m/s

4.5 Exercicis
AJUDA PER A RESOLDRE PROBLEMES
Per resoldre problemes numèrics de Física, Química, Matemàtiques, etc. pots seguir el procés següent:
1.- Llegeix l’enunciat del problema i pregunta’t que és el que et demana. La resposta aquesta pregunta és LA INCÒGNITA. Anota-la a la llibreta.
2.- Identifica a l’enunciat les DADES que puguin ser útils per resoldre el problema. Normalment són números. Anota-les a la llibreta amb les seves unitats.
3.- Selecciona LA FÓRMULA correcta que et permetrà calcular la incògnita amb les dades del problema. Escriu-la a la llibreta.
4.- SUBSTITUEIX les dades a la fórmula. Abans, però, hauràs de mirar si les unitats són correctes, si no ho són, hauràs de transformar-les utilitzant factors de conversió.
5.- Dóna LA SOLUCIÓ i emmarca-la. Recorda’t d’apuntar el valor numèric i les unitats.
Conceptes bàsics del moviment
1. Defineix moviment:
2. Quan et trobes segut a un seient del tren, i una persona passa caminant pel passadís del mig, tu et trobes en moviment o en repòs?
3. Un got d’aigua col·locat a sobre de la taula, es troba en moviment o en repòs?
4. Què vol dir que qualsevol moviment és relatiu? Fes servir un exemple.
5. Pot ser la trajectòria més gran que el desplaçament? I al contrari? Poden ser iguals?
6. -La forma de la trajectòria determina el tipus de moviment. Digues així un exemple de moviment rectilini i un altre de moviment curvilini.
7. En quin cas el desplaçament i l’espai recorregut coincidiran?
8. Un mòbil es desplaça sobre l’eix d’abscisses. La taula següent mostra la seva posició en diferents instants:
Calcula el desplaçament:
a) Entre els instants 0 i 10
b) Entre els instants 10 i 14.
Factors de Conversió
9. Converteix es següents unitats:
a) 120 Km/h a m/s
b) 15 m/s a Km/h
c) 25 cm/s a Km/h
d) 300000Km/s a m/s
10. Quina velocitat és més gran: 1600 m/min, 30 m/s o 95 km/h.
Velocitat i MRU
11. Descriu les diferències entre velocitat mitjana i instantània.
12. Calcula la velocitat d’un MRU si el mòbil recorre 140 metres en 24 segons. Expressa-la en unitats del SI, en km/h i en m/min.
13. Un tren tarda 18 minuts en recórrer la distància de 10 km i 260 m que separa dues estacions. Expressa’n la velocitat mitjana en m/s i en km/h.
14. L’AVE Madrid – València circula per problemes tècnics només a 200 km/h. Quant temps tardarà en arribar de Requena a València si hi ha una distància de 150 km?
15. Veiem caure un llampec i al cap de 8 segons sentim el tro, a quina distància s’ha produït la descàrrega si la velocitat del so és de 340 m/s?
16. Calcula el temps que tardarà en arribar una ona de ràdio des de la Lluna. La Lluna està a 384.000 km de la Terra i la velocitat de la llum és de 300000 km/s.
17. Un ciclista arriba a una velocitat punta de 54 km/h, pots calcular la distància que recorre si manté aquesta velocitat durant mig minut?
18. El 22 d’octubre de 1994, el ciclista Tony Rominger va batre el rècord de l’hora en recórrer 53,83 km. Calcula en km/h i en m/s la velocitat mitjana d’aquest ciclista durant la prova.
19. Un autobús viatja per l’autopista a una velocitat de 100 km/h (la màxima que li és permesa). Calcula el metres que recorre en 5 minuts.
20. Un cotxe circula a 90 km/h i un altre a 30 m/s.
a) Quin dels dos circula més ràpid?
b) Quin temps d’avantatge tindrà el més ràpid quan tots dos hagin recorregut 10 quilòmetres?
21. El 25 d’agost de 1991, Carl Lewis va batre el rècord del món dels 100 m llisos, fent un temps de 9,86 segons. Quina va ser la seva velocitat mitjana en la cursa?
22. Per a un cotxe que fa el trajecte Barcelona-París el valor de 60 km/h es pot considerar com una bona velocitat mitjana. Com pot ser això si el cotxe pot arribar als 200 km/h? Explica-ho.
23. Uns agents del trànsit han observat que un cotxe ha recorregut 120 metres en només 4 segons. En aquest tram de carretera hi ha un senyal de limitació de 90 km/h, caldrà que li posin una sanció al conductor?
24. Estic a punt de comprar un ciclomotor i no m’acabo de decidir. En les característiques del model Tifó diu que la velocitat màxima és de 18 m/s i en canvi de 54 km/h pel model Huracà. Quin dels dos models pot circular a més velocitat?
Acceleració
25. Explica què significa que l’acceleració d’un cotxe és 2 m/s 2.
26. Posa un exemple de moviment.
a) Amb velocitat positiva i acceleració també positiva.
b) Amb velocitat positiva i acceleració negativa.
c) Amb velocitat negativa i acceleració positiva.
27. Un cotxe que està aturat pot arribar a una velocitat de 30 m/s en només 10 segons.
a) Quina és la seva acceleració?
b) Quina velocitat portava quan feia només 6 segons que havia començat a accelerar?
28. En el catàleg d’un cotxe podem llegir que té una acceleració de 1,8 m/s².
a) Quant temps tardarà en arribar a una velocitat de 90 km/h?
b) Si pogués mantenir aquesta acceleració durant un minut, a quina velocitat arribaria?
29. Quina acceleració té un mòbil que passa de 20 Km/h a25 Km/h en 3 segons?
30. Calcula l’espai recorregut per un mòbil que accelera a 2’5 m/s² durant 4 segons sabent que parteix del repòs? Quina velocitat portarà?
31. Un cotxe que circula a 108 km/h per una carretera veu un gos que travessa la carretera i rena fins aturar-se en 12 segons.
a) Calcula l’acceleració.
b) Representa les gràfiques a-t i v-t del moviment del cotxe.
Gràfiques
32. Interpreta la gràfica següent:
33. Mirant la representació gràfica:
a) Descriu verbalment el moviment del mòbil en els diferents trams del recorregut.
b) Calcula la velocitat de cada interval.
34. La gràfica següent descriu el canvi de posició d’un mòbil. Calculau:
a) Tipus de moviment que descriu. Explicau-ho
b) La velocitat del mòbil
c) La posició inicial.
35. Dibuixa les gràfiques posició-temps dels moviments rectilinis i uniformes que corresponen a les següents taules de valors i calcula la velocitat per a cada mòbil:
36. Observa els dos gràfics del costat:
a) A quin tipus de moviment corresponen?
b) Quin dels dos mòbils es desplaça a més velocitat?
c) Calcula la distància que recorrerà cadascun al cap de 3 minuts.

37. Observa la gràfica següent, corresponent al trajecte que fa un alumne per anar de casa seva a l’institut i tornar.

Completa les següents taules de dades:

De casa a
L’autobús
El forn
La font
L’institut
Distància

Temps

Velocitat

De l’institut a
casa
Distància

Temps

Velocitat

a) Quant temps ha estat aturat durant el trajecte? I a l’institut?
b) Quin tram del recorregut l’ha fet més ràpid? Expressa la velocitat en km/h.
c) Si no s’hagués aturat durant el trajecte d’anada i hagués mantingut la velocitat de sortida, quina distància hauria recorregut?
d) Quant temps hauria tardat en arribar a l’institut, sense aturar-se, a una velocitat constant de 4 km/h?
38. El gràfic següent representa el moviment d’una mare que porta el seu fill a l’escola.
a) Descriu el moviment.
b) Calcula la velocitat de la mare a l’anada i a la tornada del col·legi.
c) A què creus que és deguda aquesta diferència?

39. Observa la gràfica del costat…
a) Explica el moviment.
b) Calcula l’acceleració.
c) Quina és la velocitat als 3,4 segons d’haver començat el moviment.
40. A la següent gràfica hi ha representat el moviment d’una moto.
a) Descriu amb una frase el moviment.
b) Calcula les acceleracions.
c) Com creus que seria la corresponent gràfica a-t d’aquest mateix moviment?
d) Podries calcular la velocitat que porta als 3 segons?
e) Si continués el moviment amb la primera acceleració, quant tardaria en quedar aturat?

4.6 Activitats Finals
1. A quan equival la velocitat final d’un mòbil en un moviment rectilini uniforme?
2. Calcula la rapidesa mitjana que ha fet un mòbil quan ha realitzat 220 Km en un temps de 3 hores.
3. Classifica els moviments segons la seva trajectòria.
4. Com es diu la línia que es forma quan s’uneix les diferents posicions que ocupa un mòbil al llarg del temps?
5. Com podem traçar una trajectòria en la que coincideixin distància i desplaçament?
6. Com podem traçar una trajectòria en la que la distància sigui més gran que zero i el desplaçament sigui nul?
7. Explica tècnicament (amb els conceptes adients) que un mòbil està frenant.
8. Un avió vola a una velocitat constant de 900 km/h. Expressa la velocitat en m/s. Quina serà la durada del vol en línia recta entre dos ciutats separades 2200 km?.
9. Quin desplaçament fa en 12 s un cotxe que es mou amb una velocitat constant de 80 km/h?.
10. Un mòbil es desplaça amb moviment rectilini uniforme. A l’instant to = 0 la seva posició xo = 700 m. A l’instant t = 20 s es troba a x = 300 m.
a) Calcula la seva velocitat. En quin sentit es desplaça? .
b) Quina serà la seva posició per a t = 25 s?.
11. Un mòbil que té un moviment rectilini uniforme tarda 40 s a desplaçar-se de la posició xo = 200 m fins a la posició x = 600 m.
a) Calcula la seva velocitat. En quin sentit es desplaça?
b) Escriu l’equació de moviment.
12. Un mòbil passa per un cert punt A i es dirigeix cap a un altre B situat a 2000 m i torna altre cop a A invertint un temps de 200 s. Calcula la velocitat mitjana.
13. S’ha confeccionat la taula posició-temps següent per a un mòbil que es desplaça en línia recta.
t (s)
0
2
4
6
8
x ( m)
0
12
24
36
48
Quin tipus de moviment té el mòbil? Calcula la seva velocitat i dibuixa el gràfic posició-temps.
14. Representa els gràfics velocitat/temps i espai/temps en cada un dels següents casos:
a) Un mòbil que es desplaça a una velocitat constant de 5 m/s
b) Un cotxe que va a 20 m/s i frena amb una acceleració negativa (desacceleració) de -2 m/s2
c) Una persona que es troba a 100 m de casa seva i torna a una velocitat de 2 m/s.
d) Una moto que parteix del repòs i accelera amb una acceleració de 2m/s2 durant 4 segons.
15. Digues quines són les característiques del moviment dels mòbils que tenen les
gràfiques següents:
16. Un mòbil surt de l’origen de coordinades a una velocitat de 30 m/s. Un altre que es troba en el mateix moment a 2 km de distància i porta la mateixa rapidesa, s’hi apropa. En els mateixos eixos de coordenades dibuixa els dos moviments.
17. Interpreta les diverses parts del gràfic velocitat-temps de la figura. Representa el corresponent gràfic posició-temps, si xo=0.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *